domingo, 5 de octubre de 2014

Olvidar a Laplace (y 2)

   Si se perdió un poco leyendo la primera parte de esta entrada, vamos a intentar encontrarnos utilizando una comparación. La atracción gravitatoria entre dos cuerpos se produce siempre en una línea. Podemos decir, por tanto, que solucionar el problema de cuál será su posición futura consiste en calcular cómo esa línea va cambiando con el tiempo. Que no debe ser algo muy difícil de calcular podemos intuirlo si observamos que, en el supuesto de que nos equivoquemos en la medición de la posición de uno de los cuerpos, digamos, un centímetro, nuestra predicción difícilmente errará en más de un centímetro. Cuando hablamos de tres cuerpos, sutilmente, hemos cambiado de dimensión. Ahora no tenemos una línea, tenemos tres, es decir, tenemos un triángulo. Podemos decir, pues, que  tenemos que calcular la variación de un área con el tiempo. Nuestros cálculos han cambiado en grado de complejidad, entre otras cosas, porque, a diferencia de lo que ocurría con la distancia entre dos cuerpos, habrá momentos en que el área sea cero. Aún más, si cometemos un error de un centímetro midiendo la posición de uno de nuestros cuerpos, el error nos va a alejar dramáticamente de la realidad, ya que habrá modificado la base y la altura del triángulo, factores que han de multiplicarse para obtener el área. Aunque la comparación que estamos poniendo es inadecuada, nos permite ver que el problema general de los tres cuerpos debe ser más simple en los casos en que éstos se hallen alienados, caso en el que no estaremos muy lejos del problema de los dos cuerpos. También debe serlo cuando la distancia entre cada par de cuerpos sea la misma, es decir, cuando forman un triángulo equilátero. Esto es, precisamente lo que descubrió Lagrange al resolver el problema general de los tres cuerpos en cinco casos particulares suponiendo, eso sí, que las órbitas de esos cuerpos eran circulares.
   Nuestra comparación nos permite, además, apreciar la naturaleza de la inteligencia de que habla Laplace. Hemos dicho que los cálculos suben un grado de complejidad cuando se trata del área de un triángulo. En el caso de la interacción gravitatoria entre cuatro cuerpos, si queremos ser absolutamente precisos, se tratará de calcular todos los volúmenes de todas las figuras que pueden conformar cuatro cuerpos. De hecho, al considerar el universo en su conjunto, estaríamos hablando del volumen de una figura de unos 1024 lados.
  Por supuesto, el problema de los tres cuerpos tiene solución, aunque, insistimos, no una solución con un número finito de operaciones. A principios del siglo XX, Karl F. Sundman  halló un método para resolverlo mediante series infinitas convergentes. Si bien la solución de Sundman es matemáticamente correcta, sus series convergen tan lentamente que no resulta un procedimiento aplicable en los cálculos físicos. Por tanto, aquí se abre la cuestión de si una inteligencia como la que postula Laplace, dotada del método de Sundman, puede efectivamente calcular la posición de un cuerpo antes de que éste llegue allí o no. En cualquier caso, nosotros no podemos. A nosotros sólo nos ha sido dado realizar aproximaciones numéricas al problema, las cuales nos pueden dar la posición de cada cuerpo en cualquier momento del futuro con tanta precisión como deseemos. Eso sí, hay que suponer un error en la medición igual a cero, pues una de las características de los sistemas no lineales es que el menor error en las mediciones iniciales conduce a que las predicciones se alejen tanto más de la realidad cuanto más lejanos en el tiempo estén los resultados predichos. Por tanto, una vez más, cabe preguntarse si una inteligencia laplaciana puede hacer un cálculo de las posiciones futuras con mayor precisión que nosotros.
  ¿Acaso Laplace, tan newtoniano, tan buen matemático, no sabía nada de todo esto? Bueno, la verdad es que Laplace creyó haber resuelto el problema de los tres cuerpos. Su Exposition du système du monde, incluye una solución general que pasó por válida durante cerca de un siglo. Finalmente se descubrió que Laplace, como buen determinista, había despreciado en sus cálculos pequeñas fluctuaciones que, de seguir su solución, llevarían al sistema al colapso. Desde luego, si alguien tan dotado para las matemáticas como Laplace cometió un error de ese calado, los demás no deberíamos tenerle miedo a equivocarnos con los números. En cualquier caso, a lo que quería llegar es a que esta larga y compleja historia puede resumirse de un modo extremadamente simple y fácil: el determinismo laplaciano nació como consecuencia de un error en sus cálculos.

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